Дві вертикальні риски навколо числа — |5| чи |−7| — виглядають як дужки, але працюють зовсім інакше. Насправді за ними ховається проста річ: відстань від нуля до точки на координатній прямій. У програмі 6 класу це базова тема: без неї не зійдуться ні дії з від’ємними числами, ні перші рівняння. Далі — правила, властивості та приклади з розв’язанням: читай і одразу рахуй.
Що таке модуль числа та як він позначається
Уяви координатну пряму — лінію з поділками, де посередині стоїть нуль, праворуч від нього розміщуються додатні числа, а ліворуч — від’ємні. Кожне число на цій лінії має свою точку. Модуль числа — це відстань від початку відліку, тобто від нуля, до точки, яка зображує це число. Таке тлумачення називають геометричним змістом модуля.
Позначають модуль двома вертикальними рисками: |5|, |−7|, |a|. Читається запис як «модуль числа п’ять» або «абсолютна величина числа a». Якби під рукою була лінійка, модуль показав би, скільки поділок від нуля до числа — без урахування напрямку.
Перевір на кроках. Стань у точці 0 і зроби п’ять кроків праворуч — опинишся в точці 5, а пройдеш відстань 5. Тепер повернися і зроби п’ять кроків ліворуч — потрапиш у точку −5, але пройдених кроків усе одно п’ять. Напрямок різний, відстань однакова, тому |5| = 5 і |−5| = 5. А відстань ніколи не буває від’ємною — звідси й головна властивість: модуль будь-якого числа завжди невід’ємний.
Одне уточнення наостанок: не плутай модуль числа з модулем вектора з геометрії та фізики. Модуль вектора — це його довжина, тобто довжина напрямленого відрізка на площині чи в просторі, без урахування напрямку. Модуль числа — схожа ідея, але на одній прямій: відстань від нуля до точки. Обидва ніколи не бувають від’ємними.
Як знайти модуль додатного, від’ємного числа та нуля
Дію «прибрати риски й залишити число» називають розкриттям модуля. Універсальне запитання тут одне: на якій відстані від нуля лежить це число? Відповідь і буде значенням модуля. На практиці достатньо глянути на знак числа — для кожного випадку своє правило, зібрані вони в таблиці.
| Тип числа | Правило розкриття | Приклади |
|---|---|---|
| Додатне число (a > 0) | Модуль дорівнює самому числу: |a| = a | |9| = 9 |
| Нуль | Модуль дорівнює нулю: |0| = 0 | |0| = 0 |
| Від’ємне число (a < 0) | Модуль дорівнює протилежному йому додатному числу: |a| = −a | |−9| = 9 |
| Від’ємний десятковий дріб | Мінус під рисками зникає, число стає додатним | |−3,5| = 3,5 |
| Додатний звичайний дріб | Риски просто знімаються, дріб не змінюється | |1/2| = 1/2 |
Зверни увагу на запис |a| = −a для від’ємних чисел — багато хто лякається мінуса в правій частині. Тут −a означає не від’ємне число, а число, протилежне до a. Якщо a = −9, то −a = 9, і рівність |−9| = 9 стає цілком зрозумілою: протилежне до −9 — це якраз 9.
Ось швидка перевірка себе після розкриття. Результат має вийти додатним або нульовим — інакше й бути не може. Отримав у відповіді |−6| = −6? Десь помилився: після зняття рисок мінус з’явитися не може.
Основні властивості модуля
У модуля є кілька закономірностей, які виконуються завжди, для будь-яких чисел. Вони економлять час на прикладах і допомагають помічати власні помилки. Ось головні з них:
- |a| ≥ 0 — модуль будь-якого числа невід’ємний;
- |a| = |−a| — модулі протилежних чисел рівні: |7| = |−7| = 7;
- |0| = 0 — нуль є єдиним числом, модуль якого дорівнює нулю;
- |a · b| = |a| · |b| — модуль добутку дорівнює добутку модулів;
- |a : b| = |a| : |b| при b ≠ 0 — модуль частки дорівнює частці модулів.
Перевірмо добуток на конкретних числах: |−4 · 6| = |−24| = 24, а |−4| · |6| = 4 · 6 = 24. Відповідь та сама, хоч би як ти рахував — спершу перемножити й узяти модуль чи діяти навпаки. Те саме працює для частки: |−15 : 3| = |−5| = 5 і |−15| : |3| = 15 : 3 = 5.
Найчастіше в домашніх завданнях трапляються перші три властивості. Добуток і частка стануть у пригоді, коли під рисками опиниться довгий вираз: тоді можна спершу порахувати все всередині, а риски зняти в самому кінці. Для добутку й частки порядок дій обирай будь-який — відповідь не зміниться. Із сумою так не можна: |−3 + 5| = 2, а |−3| + |5| = 8.
Типові помилки під час роботи з модулем
Перша помилка — фраза «модуль завжди додатний». Нуль не вважається додатним числом, а |0| = 0, тож формулювання неточне. Коректно казати «невід’ємний»: модуль або додатний, або дорівнює нулю. Дрібниця? Саме на таких формулюваннях учитель і ловить на контрольній.
Друга пастка — звичка просто прибрати мінус. З готовими числами це справді працює: |−3| = 3. З буквою — ні. Рівність |−x| = x неправильна: підстав x = −3, і ліворуч вийде |−(−3)| = |3| = 3, а праворуч — лише −3. Правильна рівність інша: |−x| = |x|, і вона виконується завжди.
Третя помилка — мінус перед рисками. У виразі −|5| мінус стоїть зовні, тому діє вже після обчислення модуля: |5| = 5, а потім одержуємо −5. Так само −|−8| = −8, бо |−8| = 8, і лише після цього зовнішній мінус робить відповідь від’ємною. Працюй із рисками як із дужками: спершу все всередині, потім усе зовні.
Тепер головне застереження всієї теми. Модуль ніколи не може дорівнювати від’ємному числу — ані в прикладі, ані в рівнянні. Запис |x| = −5 не має жодного розв’язку: жодне число не лежить на від’ємній відстані від нуля. Побачиш таке рівняння — сміливо пиши «розв’язків немає», це повноцінна відповідь.
Саме такі «пасткові» рівняння часто потрапляють у контрольні роботи — ними перевіряють, чи розумієш ти зміст модуля, а не просто вмієш знімати риски. Уміння з першого погляду розпізнати рівняння без розв’язків економить час і береже від зайвих обчислень.
Як розв’язувати базові рівняння з модулем
Базове рівняння з модулем улаштоване однаково: зліва стоїть |x|, справа — число. Скільки буде коренів, підказує знак числа справа. Візьмемо |x| = 5. На відстані 5 від нуля лежать дві точки: 5 і −5, тож рівняння має два корені — x = 5 або x = −5.
Якщо справа стоїть нуль, корінь лише один: рівняння |x| = 0 має розв’язок x = 0, бо нуль — єдина точка з нульовою відстанню. А от рівняння |x| = −3 розв’язків не має взагалі: відстань не може дорівнювати −3, хоч би яке число ти підставив. Три випадки — два корені, один корінь, жодного — запам’ятай у такому порядку, решта зводиться до них.
- Подивись, яке число стоїть справа від знака рівності, і визначи його знак.
- Якщо число додатне, розбий рівняння на два прості: вираз під рисками дорівнює самому цьому числу або числу, протилежному до нього.
- Запиши відповідь: два корені, один корінь або «розв’язків немає» — залежно від знака числа справа.
- Підстав кожен знайдений корінь у початкове рівняння й переконайся, що рівність виконується.
Тренувальний приклад: |x| = 12. Справа додатне число, отже, коренів два: x = 12 та x = −12. Перевірка підстановкою: |12| = 12 і |−12| = 12 — обидва підходять. На таких рівняннях рука набивається швидко, але етап перевірки не пропускай навіть тоді, коли здається, що все очевидно.
Приклади обчислень для закріплення з перевіркою
Почнімо з виразу з трьома модулями: |−12| + |7| − |−4|. Спершу розкрий кожен модуль окремо: |−12| = 12, |7| = 7, |−4| = 4. Далі звичайна арифметика: 12 + 7 − 4 = 15. Відповідь — 15. Ідея проста: риски перетворюють вираз на звичайні дії з додатними числами.
Другий приклад — із діленням і множенням: |−15| : |3| · |−2|. Розкриваємо модулі: 15 : 3 · 2. Порядок дій зліва направо: 15 : 3 = 5, потім 5 · 2 = 10. Відповідь — 10. До речі, тут спрацювала властивість частки з попереднього розділу: |−15| : |3| — це те саме, що |−15 : 3| = |−5| = 5.
Третій приклад — рівняння, де під рисками стоїть вираз: |x − 2| = 6. Міркуй через відстань: число x − 2 віддалене від нуля на 6, отже, воно дорівнює або 6, або −6. Розбиваємо на два прості рівняння: x − 2 = 6, звідки x = 8, та x − 2 = −6, звідки x = −4. Перевірка: |8 − 2| = |6| = 6 та |−4 − 2| = |−6| = 6 — обидва корені правильні.
Час перевірити себе. Завдання перше: обчисли |−20| − |6|. Порахуй самостійно, а тоді звір: |−20| = 20, |6| = 6, тож 20 − 6 = 14.
Завдання друге: знайди всі корені рівняння |y| = 9. Справа додатне число, отже, коренів два: y = 9 і y = −9. Швидка перевірка: |9| = 9 та |−9| = 9 — обидва значення підходять. Якщо десь помилився, повернись до таблиці правил із другого розділу й пройди приклади ще раз: це швидше, ніж перечитувати теорію спочатку.